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[Pythonで数学]積分

積分

積分は、簡単にまとめると直線や曲線で囲まれた範囲の面積を求めること。

積分　:　\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx \)

リーマン積分は、領域を細かく長方形に分け、その面積を合算して計算する。

リーマン積分　:　\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{b – a}{n} f (a + k) \cdot \frac{b – a}{n} \)

Pythonで積分を求める

まずは三角形の面積を考えてみる。三角形の面積は、\(\displaystyle \frac{底辺 \times 高さ}{2} \)なので、\(\displaystyle f(x) = 2x \)の場合は、下記のように求めることができる。

import numpy as np
from matplotlib import pylab as plt

def f(x):
   y = 2 * x
   return y

area = 10 * f(10) /2
print(area)

p = np.linspace(0, 10, 100)
plt.plot(p, f(p), color='r')
plt.fill_between(p, np.zeros(100), f(p), facecolor='r', alpha=0.1)

次は二次関数\(\displaystyle f(x) = x^2 \)で考えてみる。

import numpy as np
from matplotlib import pylab as plt

def f(x):
  y = x ** 2
  return y

p = np.linspace(0, 5, 100)
plt.plot(p, f(p), color='g')
plt.fill_between(p, np.zeros(100), f(p), facecolor='g', alpha=0.1)

曲線が出てくるため簡単に面積を求めることができない。そこで、積分を使って求める。

import numpy as np
from matplotlib import pylab as plt

def f(x):
  # 2次関数
  y = x ** 2
  return y

def integral(a, b, n):
    # リーマン積分
    d = (b - a) / n
    s = 0

    for i in range(n):
        s += d * f(a + (i + 1) * d)

    return s

result = integral(0, 5, 1000)

print(result)
41.72918749999999

\displaystyle n \)の数だけ領域を長方形で分けることになるので、\displaystyle n \)の値を大きくすればするほど精度の高い結果が得られる。

また、積分はscipyのintegral.quad関数で実装できる。

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import integrate

def f(x):
  # 2次関数
  y = x ** 2
  return y

result, err = integrate.quad(f, 0, 5)

print(result)
41.66666666666666

誤差はあるものの近い値が出力された。また、printしていないが変数errには推定誤差が出力されている。

積分はたくさん演算を行うため、処理が重たい。実際に、先程作った積分の関数とspicyの関数で計測してみる。計測するには、”%time”をつけて関数を実行するだけ。

%time r = integral(0, 5, 100000)
%time r = integrate.quad(f, 0, 5)
CPU times: user 27.7 ms, sys: 0 ns, total: 27.7 ms
Wall time: 27.7 ms
CPU times: user 41 µs, sys: 0 ns, total: 41 µs
Wall time: 44.1 µs

作った関数の方は単位が”ms”でspicyの関数の方は”µs”となっていることから、spicyの関数の方がより早く、精度の高い結果を得ることができる。

数学

記事を読んでいただきありがとうございました。

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