二項分布

コインを投げたときに表が出るのか、それとも裏が出るのか、といったように試行した際に起こる結果が2つしかない試行のことをベルヌーイ試行といい、このベルヌーイ試行をn回行い、表が出る回数の確率分布を二項分布という。グラフにすると正規分布に似たようなグラフになり、正規分布から二項分布に近似させることもできる。正規分布は、12.43653、13.54748765などといった細かく連続的な数値、すなわち連続型であるのに対し、二項分布はコインの試行のように10回、20回などのように決まった数値になる、すなわち離散型である。

\(\displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = {}_n \mathrm{ C }_k = \frac{n!}{k!(n -k)!} \)

二項分布確率質量関数　:　\(\displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k (1 – p)^{n-k} \)

正規分布による近似　:　\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi np(1 – p)}} \exp \left( – \frac{(k – np) – 2}{2np(1 – p)} \right) \)

Pythonで二項分布を求める

とりあえず、二項分布の関数を作成し、グラフを描いてみる。

二項分布確率質量関数　:　\(\displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k (1 – p)^{n-k} \)

def binomial_distribution(n, k, p):
  """
  二項分布
  param n : n
  param k : k
  param p : 確率
  return  : 二項分布
  """
  x = (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
  y = math.factorial(n) / (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))
  result = x * y
  return result

n = 100

points = np.array([binomial_distribution(n, k, 0.5) for k in range(n + 1)])
plt.plot(points)

正規分布のように左右対称の山のグラフが描かれた。次は、実際に二項分布により勝率を求めてみる。

NBAのプレイオフは16チームのトーナメント制で、7戦行い先に4勝した方が勝ち進んでいく7番勝負。16チームなので7勝負を4回勝ち進んで行けば優勝ということ。この確率を二項分布で表してみる。

まず、下記の組み合わせの式では、勝ち負けのパターンがわかる。

\(\displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = {}_n \mathrm{ C }_k = \frac{n!}{k!(n -k)!} \)

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} = {}_7 \mathrm{ C }_5 = \frac{7!}{4!(7 -4)!} = \frac{7!}{4!(3)!} = 35 \)

import math

n = 7
k = 4
math.factorial(n) / (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))

35.0

つまり、[勝, 勝, 勝, 勝, 勝, 勝, 勝]、[勝, 勝, 勝, 勝, 勝, 勝, 負]、[勝, 勝, 勝, 勝, 勝, 負, 負]、[勝, 勝, 勝, 勝, 負, 負, 負]、など7番勝負を勝つパターンが35個あるということ。

これを踏まえて、二項分布を求めてみる。

二項分布確率質量関数　:　\(\displaystyle \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k (1 – p)^{n-k} \)

七番勝負の勝率は4〜7勝する確率の総和となる。また、リーグ戦の勝率が6割のチームの優勝する確率を求める。

import math

def binomial_distribution(k, n, p):
  """
  二項分布
  param k : k
  param n : n
  param p : 勝率
  return  : 二項分布
  """
  # 組み合わせ
  c = math.factorial(n) / (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))
  # 二項分布確率質量関数
  result = c * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))

  return result

# チャンピオンになる確率
champion = 0

# 4～7勝する確率の総和
for i in range(4, 8):
    champion += binomial_distribution(i, 7, 0.6)

print(champion)

0.7102080000000001

リーグ戦で勝率が6割のチームが優勝する確率は、0.71(71%)となった。

scipyでの二項分布

scipyではpmf関数で二項分布を実装できる。先程と同じ条件で二項分布を求めてみる。

from scipy.stats import binom

# チャンピオンになる確率
champion = 0

for i in range(4, 8):
    champion += binom.pmf(i, 7, 0.6)

print(champion)

0.7102080000000003

同じような結果が出力された。

正規分布による近似

次に、正規分布から二項分布を近似させてみる。

正規分布による近似　:　\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi np(1 – p)}} \exp \left( – \frac{(k – np) – 2}{2np(1 – p)} \right) \)

import numpy as np

def log_normal_distribution(k, n, p):
    """
    正規分布による二項分布への近似
    param k : k
    param n : n
    param p : 勝率
    return  : 二項分布
    """
    x = np.sqrt(2 * np.pi * n * p * (1 - p))
    y1 = -1 * ((k - n * p) ** 2)
    y2 = 2 * n * p * (1 - p)
    result = (1 / x) * np.exp(y1 / y2)
    return result

# チャンピオンになる確率
champion = 0

# 4～7勝する確率の総和
for i in range(4, 8):
    champion += binomial_distribution(i, 7, 0.6)

print(champion)

0.7102080000000001

近似なので多少差異があるが同じような値が出力された。