コーシー・リーマン方程式とは

コーシー・リーマン方程式は、複素関数$\displaystyle f(z)$が微分可能かどうか判定できる方程式。複素関数$\displaystyle f(z)$が微分可能かどうかは、その関数に導関数が存在するかどうかであり、下記の式の極限値が存在することにある。

$\displaystyle f'(z) = \frac{dw}{dz} = \lim_{\Delta{z} \to{0}} \frac{\Delta{w}}{\Delta{z}} = \lim_{\Delta{z} \to{0}} = \lim_{\Delta{z} \to{0}} \frac{f(z + \Delta{z}) – f(z)}{\Delta{z}}$

極限値が存在するということは、複素数 $\displaystyle \Delta z$ がどのように0に近づいても、ある複素数 $\displaystyle z$ に収束することを意味する。「どのように」という表現は、実関数の微分とは違い、複素関数では、収束の仕方が一意に定まらないことを強調している。コーシー・リーマンの方程式は、ある複素数 $\displaystyle z$ に収束するかどうかをで判定することができる。

コーシー・リーマンの方程式を導く

複素数 $\displaystyle z = x + yi$ の複素関数 $\displaystyle f(z)$ の実部と虚部を、 $\displaystyle u(x, y)$ と $\displaystyle v(x, y)$ とすると、$\displaystyle f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ となる。また、$\displaystyle \Delta{z} = \Delta{x} + i\Delta{y}$ とすると、導関数 $\displaystyle f'(z)$ は、次のようになる。

$\displaystyle f'(z) = \lim_{\Delta{z} \to{0}} \frac{f(z + \Delta{z}) – f(z)}{\Delta{z}} = \lim_{\Delta{z} \to{0}} \frac{ \{ u(x + \Delta{x}, y + \Delta{y}) + iv(x + \Delta{x}, y + \Delta{y}) \} – \{ u(x, y) + iv(x, y) \} }{ \Delta{x} + i\Delta{y} } \cdots ①$

ここで、まず $\Delta{z}$ が実数のとき、つまり $\Delta{y} = 0$ のときを考える。よって、$\Delta{z} = \Delta{x} + i\Delta{y} = \Delta{x}$ となるので導関数は次のようになる。

$\displaystyle f'(z) = \lim_{\Delta{z} \to{0}} \frac{f(z + \Delta{z}) – f(z)}{\Delta{z}} = \lim_{\Delta{z} \to{0}} \frac{ \{ u(x + \Delta{x}, y) + iv(x + \Delta{x}, y) \} – \{ u(x, y) + iv(x, y) \} }{ \Delta{x} } =\lim_{\Delta{z} \to{0}} \frac{ u(x + \Delta{x}, y) + iv(x + \Delta{x}, y) – u(x, y) – iv(x, y) }{ \Delta{x} } = \lim_{\Delta{z} \to{0}} \frac{ u(x + \Delta{x}, y) – u(x, y) }{\Delta{x}} + i\frac{ v(x + \Delta{x}, y) – v(x, y) }{\Delta{x}} \cdots ②$

ここで、２変数以上の関数を扱うことができる偏微分を取り入れる。微分したい変数以外を定数として扱い微分を行うので、２変数関数 $z = f(x, y)$ とすると、 $x$ と $y$ の偏微分はそれぞれ下記のようになる。

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) – f{x, y}}{\Delta x}$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) – f{x, y}}{\Delta y}$

よって、②式の実部 $u(x, y)$ と虚部 $v(x, y)$ は、これら偏微分より次のように表すことができる。

$\displaystyle f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \cdots ③$

次に、 $\Delta z$ が実数のとき、つまり $\Delta{x} = 0$ のときを考える。よって、$\Delta{z} = \Delta{x} + i\Delta{y} = i\Delta{y}$ となるので導関数は次のようになる。

$\displaystyle f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) – f(z)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{ \{ u(x, y + \Delta y) + iv(x, y + \Delta y) \} – \{ u(x, y) + iv(x, y) \} }{ i\Delta y} =\lim_{\Delta z \to 0} \frac{ u(x, y + \Delta y) + iv(x, y + \Delta y) – u(x, y) – iv(x, y) }{ i\Delta y} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{1}{i} \Big\{ \frac{ u(x, y + \Delta y) – u(x, y) }{\Delta y} + i\frac{ v(x, y + \Delta y) – v(x, y) }{\Delta y} \Big\} \cdots ④$

また、先ほどのように偏微分を利用すると④式より次の式を得られる。

$\displaystyle f'(z) = \frac{1}{i} \Big( \frac{\partial u}{\partial y} + i\frac{\partial u}{\partial y} \Big) \times \frac{i}{i} = \frac{\partial u}{\partial y} – i\frac{\partial u}{\partial y}\cdots ⑤$

③の操作は $\Delta z$ を$\Delta x$のみの変化、つまり実数のみの変化で、⑤の操作は $\Delta z$ を $\Delta y$のみ変化、つまり純虚数のみの変化で0へ近づける操作であるため、③式と⑤式の極限値が一致しているということは、$\Delta z$ がどのように変化しようが極限値がある値に収束することを意味し、複素関数 $f(z)$ の導関数が存在するということになる。

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} – i\frac{\partial u}{\partial y}$

実部と虚部が等しくあればいいので、次式のようになり、これをコーシー・リーマンの方程式という。

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

また、コーシー・リーマンの方程式を満たすとき、③、⑤より導関数 $f'(z)$ は次式のように表すことができる。

$\displaystyle f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$

$\displaystyle f'(z) = -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}$

正則

$f(z)$ が領域 $D$ において、すべての点で微分が可能であることを正則という。また、ある領域で正則な関数を正則関数という。コーシー・リーマンの方程式は、正則かどうかを判定できる。