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[Pythonで数学]三角関数

三角関数

三角関数は、直角三角形で1つの角が決まると、\(\displaystyle \sin \)、\(\displaystyle \cos \)、\(\displaystyle \tan \)によって、斜辺、底辺、高さの比が決まる関数です。

\(\displaystyle \angle A \)を\(\displaystyle \angle \theta \)とすると次のように表すことができる。

正弦　:　\(\displaystyle \sin \theta = \frac{高さ}{斜辺} \)

余弦　:　\(\displaystyle \cos \theta = \frac{底辺}{斜辺} \)

正接　:　\(\displaystyle \tan \theta = \frac{高さ}{底辺} \)

また、sin、cos、tanのそれぞれの値は次のように求められる。

正弦　:　\(\displaystyle \sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} z^{2n + 1} \)

余弦　:　\(\displaystyle \cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \)

正接　:　\(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin z}{\cos z} \)

Pythonでsinとcosを描画する

3つの山がある\(\displaystyle \sin \)と\(\displaystyle \cos \)を描画してみる。

import numpy as np
from matplotlib import pylab as plt

# 3つの山を作る
p_range = 3 * np.pi
p = np.linspace(-p_range, p_range, 100)
# sinを描画する
plt.plot(np.sin(p))
# cosを描画する
plt.plot(np.cos(p))
plt.title('sin, cos')

オレンジの線がsinの線で、直角三角形の高さを表しており、水色の線がcosの線で、直角三角形の底辺を表している。

Pythonでsinとcosとtanを求める

次はsin、cos、tanの値を求めてみる。

正弦　:　\(\displaystyle \sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} z^{2n + 1} \)

余弦　:　\(\displaystyle \cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \)

正接　:　\(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin z}{\cos z} \)

import math
import numpy as np
import pandas as pd

def sin_func(z, n_max=100):
  """
  sinを求める関数
  param z     : 角度
  param n_max : 総和のn
  return s    : sinの値
  """
  s = 0

  for n in range(n_max):
      m = 2 * n + 1
      s += (((-1) ** n) / math.factorial(m)) * (z ** m)

  return s


def cos_func(z, n_max=100):
  """
  cosを求める関数
  param z     : 角度
  param n_max : 総和のn
  return c    : cosの値
  """
  c = 0

  for n in range(n_max):
      m = 2 * n
      c += (((-1) ** n) / math.factorial(m)) * (z ** m)
  
  return c

# tanを求める関数
def tan_func(z, n_max=100):
  """
  sinを求める関数
  param z     : 角度
  param n_max : 総和のn
  return t    : tanの値
  """
  t = 0
  t = sin_func(z, n_max) / cos_func(z, n_max)

  return t

# ラジアンの配列
rad = np.arange(0, 5, 0.5)
sin_data = pd.DataFrame([[sin_func(r)] for r in rad], index=rad, columns=['sinの値'])
cos_data = pd.DataFrame([[cos_func(r)] for r in rad], index=rad, columns=['cosの値'])
tan_data = pd.DataFrame([[tan_func(r)] for r in rad], index=rad, columns=['tanの値'])
data = sin_data.join(cos_data).join(tan_data)
print(data)
        sinの値     cosの値      tanの値
0.0  0.000000  1.000000   0.000000
0.5  0.479426  0.877583   0.546302
1.0  0.841471  0.540302   1.557408
1.5  0.997495  0.070737  14.101420
2.0  0.909297 -0.416147  -2.185040
2.5  0.598472 -0.801144  -0.747022
3.0  0.141120 -0.989992  -0.142547
3.5 -0.350783 -0.936457   0.374586
4.0 -0.756802 -0.653644   1.157821
4.5 -0.977530 -0.210796   4.637332

numpyでは、sin、cos、tanをそれぞれnp.sin、np.cos、np.tanで求められる。

import numpy as np
import pandas as pd

rad = np.arange(0, 5, 0.5)
sin_data = pd.DataFrame([[np.sin(r)] for r in rad], index=rad, columns=['sinの値'])
cos_data = pd.DataFrame([[np.cos(r)] for r in rad], index=rad, columns=['cosの値'])
tan_data = pd.DataFrame([[np.tan(r)] for r in rad], index=rad, columns=['tanの値'])
data = sin_data.join(cos_data).join(tan_data)
print(data)

数学

記事を読んでいただきありがとうございました。

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