コーシー・リーマンの方程式は、複素関数が正則であるかどうかを判定できる方程式であった（複素解析メモ : コーシー・リーマンの方程式）。複素関数同様、コーシー・リーマンの方程式も極形式で考えることができる。

極形式のコーシー・リーマンの方程式

複素数\( z = x + yi \)を極形式で表すと、\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)となる。つまり、 \( x = r\cos\theta \)、\( y = r\sin\theta \)となるので、\( x \)と\( y \)がそれぞれ\( r \)と\( \theta \)の関数となる。よって、複素関数\( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)の実部\( u(x, y) \)と虚部\( v(x, y) \)も\( r \)と\( \theta \)の関数となる。

まず、偏導関数の定理を使って考える。偏導関数の式は下式となる。

\(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \)

\(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \)

よって、

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} \)

\( x = r\cos\theta \)を\( r \)について偏微分すると \( 1\cdot\cos\theta \)、\( y = r\sin\theta \)を\( r \)について偏微分すると\( 1\cdot\sin\theta \)となるので、上式は下式のとなる。

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta \cdots ① \)

次に、

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} \)

\( x = r\cos\theta \)を\( \theta \)について偏微分すると \( r\cdot – \sin\theta \)、\( y = r\sin\theta \)を\( \theta \)について偏微分すると\( r\cdot\cos\theta \)となるので、上式は下式のとなる。

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial u}{\partial y}(r\cos\theta) \cdots ② \)

次に、

\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} \)

\( x = r\cos\theta \)を\( r \)について偏微分すると \( 1\cdot\cos\theta \)、\( y = r\sin\theta \)を\( r \)について偏微分すると\( 1\cdot\sin\theta \)となるので、上式は下式のとなる。

\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta \cdots ③ \)

次に、

\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} \)

\( x = r\cos\theta \)を\( \theta \)について偏微分すると \( r\cdot – \sin\theta \)、\( y = r\sin\theta \)を\( \theta \)について偏微分すると\( r\cdot\cos\theta \)となるので、上式は下式のとなる。

\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{\partial v}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial v}{\partial y}(r\cos\theta) \cdots ④ \)

ここで、コーシー・リーマンの方程式を思い出す。

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} \)

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)

このコーシー・リーマンの方程式と②、③の式を考える。②式の両辺を\(r\)で除算すると、

\(\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}(-\sin\theta) + \frac{\partial u}{\partial y}(\cos\theta) \)

コーシー・リーマンの方程式より、

\(\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial y}(-\sin\theta) + (-\frac{\partial v}{\partial x})(\cos\theta) \)

これの式を③式と比較すると上式にマイナスを掛けた式なので、

\(\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = -\frac{\partial v}{\partial r} \)

同様に、コーシー・リーマンの方程式と①、④の式を考える。④式を\(r\)で除算すると、

\(\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{\partial v}{\partial x}(-\sin\theta) + \frac{\partial v}{\partial y}(\cos\theta) \)

コーシー・リーマンの方程式より、

\(\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta + \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta \)

これは①式そのものであるため、

\(\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial r} \)

以上より、極形式でのコーシー・リーマンの方程式は、

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \)

\(\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = -\frac{\partial v}{\partial r} \)

導関数\( f'(z) \)

次に導関数\( f'(z) \)を考える。まず、前項の①式と②式を使って考える。

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta \cdots ① \)

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial u}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial u}{\partial y}(r\cos\theta) \cdots ② \)

①式、②式より、\( ① \times r\cos\theta – ② \times \sin\theta \)とすると、次のようになる。

\(\displaystyle r\cos\theta (\frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta) – \sin\theta(\frac{\partial u}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial u}{\partial x}(r\cos\theta)) = r\frac{\partial u}{\partial x}\cos^{2}\theta + r\frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta\cos\theta – (-r\frac{\partial u}{\partial x}\sin^{2}\theta + r\frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta\cos\theta) = r\frac{\partial u}{\partial x}(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta) = r\frac{\partial u}{\partial x} \)

よって、

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} \cdot r\cos\theta – \frac{\partial u}{\partial \theta} \cdot \sin\theta = r\frac{\partial u}{\partial x} \)

両辺をrで除算すると、

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r} \cdot \cos\theta – \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} \cdot \sin\theta \)

ここで、極形式のコーシー・リーマンの方程式の次式を使う。

\(\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = -\frac{\partial v}{\partial r} \)

より、

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r} \cdot \cos\theta + \frac{\partial v}{\partial r} \cdot \sin\theta \cdots ⑧ \)

次に、前項の③式と④式を使って先ほどと同じように考える。

\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{\partial v}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta \cdots ③ \)

\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{\partial v}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial v}{\partial y}(r\cos\theta) \cdots ④ \)

③式、④式より、\( ③ \times r\cos\theta – ④ \times \sin\theta \)とすると、次のようになる。

\(\displaystyle r\cos\theta (\frac{\partial v}{\partial x}\cos\theta + \frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta) – \sin\theta(\frac{\partial v}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial v}{\partial x}(r\cos\theta)) = r\frac{\partial v}{\partial x}\cos^{2}\theta + r\frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta\cos\theta + (r\frac{\partial v}{\partial x}\sin^{2}\theta – r\frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta\cos\theta) = r\frac{\partial v}{\partial x}(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta) = r\frac{\partial v}{\partial x} \)

ここで、極形式のコーシー・リーマンの方程式の次式を使う。

\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \)

より、

\(\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta – \frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta \cdots ⑨ \)

コーシー・リーマンの方程式が満たされるとき、\( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)の導関数 \( f'(z) \)は、 \( f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \)と⑧式、⑨式より、次のように表される。

\(\displaystyle f'(z) = \frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta + \frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta + i(\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta – \frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta) = \frac{\partial u}{\partial r}(\cos\theta – i\sin\theta) + \frac{\partial v}{\partial r}(\sin\theta + i\cos\theta) \)

ここで、\( sin\theta = i \times (-\sin\theta) \)なので、上式の第2項を虚数\(i\)で括ると次のようになる。

\(\displaystyle f'(z) = \frac{\partial u}{\partial r}(\cos\theta – i\sin\theta) + i\frac{\partial v}{\partial r}(\cos\theta – i\sin\theta) = (\frac{\partial u}{\partial r} + i\frac{\partial v}{\partial r})(\cos\theta – i\sin\theta) \)

オイラーの公式より、\( e^{-i\theta} = \cos\theta – i\sin\theta \)なので、 導関数\( f'(z) \)は次式のようになる。

\(\displaystyle f'(z) = e^{-i\theta}(\frac{\partial u}{\partial r} + i\frac{\partial v}{\partial r}) \)